Question

10．如图，在直角坐标系中，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的角平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明．

Answer 1

分析 由BE平分∠ABF、CA平分∠OAB知2∠EBA=∠ABF、∠OAB=2∠CAB，根据△AOB外角性质得∠ABF=∠AOB+∠OAB，即∠ABF=90°+∠OAB，再根据△ACB外角性质得∠EBA=∠C+∠CAB，即90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），从而知90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，即可得∠C=45°．

解答 解：∠ACB的大小不发生改变，
如图，

∵BE平分∠ABF，CA平分∠OAB，
∴2∠EBA=∠ABF，∠OAB=2∠CAB，
又∵∠ABF为△AOB的外角，
∴∠ABF=∠AOB+∠OAB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABF=90°+∠OAB，
又∵∠EBA为△ACB的外角，
∴∠EBA=∠C+∠CAB，
∴90°+∠OAB=2（∠C+∠CAB），
90°+∠OAB=2∠C+∠OAB，
∴∠C=45°，
即∠ACB的大小不发生改变．

点评 本题主要考查角平分线性质、三角形外角的性质等知识点，由∠ACB联想到△ACB外角∠EBA，继而由角平分线的性质联想到△AOB外角是解题的关键．