Question

11．阅读理解
（一）阅读与思考
通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，刚学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系．暑假后，方程家族也将迎来《一元二次方程》这一新成员，它的求解方法之一“配方法”，相信你一学就会，例如：解一元二次方程x²+2x-1=0
解：x²+2x-1=0⇒x²+2x+1=2⇒（x+1）²=2⇒x+1=$\sqrt{2}$或x+1=-$\sqrt{2}$
∴x=-1+$\sqrt{2}$或x=-1-$\sqrt{2}$
（二）解决问题
 如图1，矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点G在CD上，且DG=5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y=34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状平行四边形，并直接写出它的面积15．

Answer 1

分析 （1）PB=x，PC=12-x，然后依据△APG的面积=矩形的面积-三个直角三角形的面积可得到y与x的函数关系式，然后将y=34代入函数关系式可求得x的值；
（2）先依据勾股定理求得PA、PG、AG的长，然后依据勾股定理的逆定理列出关于x的方程，从而可求得x的值；
（3）确定出点P分别与点B和点C重合时，点M、N的位置，然后依据三角形的中位线定理可证明M₁M₂∥N₁N₂，N₁N₂=M₁M₂，从而可判断出MN扫过区域的形状，然后依据平行四边形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=9，AD=BC=12．
∵DG=5，
∴GC=4．
∵PB=x，PC=12-x，
∴y=9×12-$\frac{1}{2}$×9•x-$\frac{1}{2}$×4×（12-x）-$\frac{1}{2}$×5×12，整理得：y=-2.5x+54．
当y=34时，-2.5x+54=34，解得x=8．
（2）存在．
∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，
∴PA²=AB²+BP²=81+x²，PG²=PC²+GC²=（12-x）²+16，AG²=AD²+DG²=169．
∵当AG²=AP²+PG²时，AP⊥PG，
∴81+x²+（12-x）²+16=169，整理得：x²-12x+36=0，配方得：（x-6）²=0，
解得：x=6．
（3）如图所示：

∵当点P与点B重合时，点M位于M₁处，点N位于点N₁处，
∴M₁为AB的中点，点N₁位GB的中点．
∵当点P与点C重合时，点M位于M₂处，点N位于点N₂处，
∴M₂为AC的中点，点N₂位CG的中点．
∴M₁M₂∥BC，M₁M₂=$\frac{1}{2}$BC，N₁N₂∥BC，N₁N₂=$\frac{1}{2}$BC．
∴M₁M₂∥N₁N₂，N₁N₂=M₁M₂．
∴四边形M₁M₂N₂N₁为平行四边形．
∴MN扫过的区域为平行四边形．
S=$\frac{1}{2}$BC•（$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$CG）=6×2.5=15
故答案为：平行四边形；15．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了列函数关系式、三角形的面积公式、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，画出MN扫过的图形是解题的关键．