Question

1．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=10，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF的最小值是5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接CD，设ED交AC于点G，则点G为ED中点，可证得AC∥DF，得出C为EF中点，即EF=2CD，当CD⊥AB是有最小值，可求得EF的最小值．

解答 解：连接CD，设AC于点DE交于点G，则EG=DG，且ED⊥AC，
∵DF⊥DE，
∴∠EGC=∠EDF=90°，
∴AC∥DF，且G为ED中点，
∴EC=FC，即EF=2CD，
∴当线段EF最小时，线段CD也最小，
根据垂直线段最短的性质，当CD⊥AD时线段CD最小，
∵AB是半圆O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，∠CBA=30°，
∴AC=5，BC=5$\sqrt{3}$，
当CD⊥AD时，CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，此时EF=2CD=5$\sqrt{3}$、
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查圆周角定理及轴对称的性质、勾股定理等知识的综合应用，题中把EF的值转化成CD的值是解答此题的关键．