如图.已知直线y=-x+3与x轴.y轴分别交于A.B两点.抛物线y=-x2+bx+c经过A.B两点.点P在线段OA上.从点A以1个单位/秒的速度匀速运动,同时.点Q在线段AB上.从点A出发.向点B以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度匀速运动.连接PQ.设运动时间为t秒．(1)求抛物线的解析式,(2)当t为何值时.△APQ为直角三角形,(3)过点P作PE∥y轴.交AB于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．

分析（1）先求得直线AB与x轴、y轴的交点坐标，然后将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组求得b、c的值从而可得到抛物线的解析式；
（2）由点A、B的坐标可知OB=OA，从而可求得∠BAO=45°，然后分为∠PQA=90°和∠QPA=90°两种情况求解即可；
（3）由题意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四边形EFQP为平行四边形，从而得到PE=FQ，然后设点P的坐标为（t，0）则可表示出点Q、E、F的坐标，从而可求得PE、FQ的长，最后根据PE=FQ列方程求解即可．

解答解：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）．
∵将A（3，0），B（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
如图①所示：∠PQA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{QA}{PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得：t=1．
如图②所示：∠QPA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．
在Rt△PQA中，$\frac{PA}{AQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
解得：t=$\frac{3}{2}$．
综上所述，当t=1或t=$\frac{3}{2}$时，△PQA是直角三角形．
（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t．点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3），即F（3-t，4t-t²），则FQ=4t-t²-t=3t-t²．
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四边形EFQP为平行四边形．
∴EP=FQ，即3-t=3t-t²．
解得：t₁=1，t₂=3（舍去）．
将t=1代入得点F的坐标为（2，3）．