Question

4．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在直线BC的下方的抛物线上有一动点M，其横坐标为m，△MBC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值及此时点M的坐标；
（4）平行于BC的动直线分别交△ABC的边AC、AB与点D、E，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，设DE=x，△FDE与△ABC重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，可求得A与B的坐标，又由对称轴为直线x=2，求得点C的坐标，然后利用交点式，求得抛物线的解析式；
（2）首先设Q点的坐标为（2，e），对称轴x=2交x轴于点T，过点B作BR垂直于直线x=2于点R，然后表示出AQ²与BQ²，继而求得答案；
（3）首先过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，易表示出MN，然后由S=$\frac{1}{2}$×MN×3，求得答案；
（4）分别从①当0＜x≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$与②当$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜x＜3$\sqrt{2}$时，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（3，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
∵抛物线经过点B（0，3），
∴3a=3，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）如图1，设Q点的坐标为（2，e），对称轴x=2交x轴于点T，过点B作BR垂直于直线x=2于点R．
在Rt△AQT中，AQ²=AT²+QT²=1+e²，
在Rt△BQR中，BQ²=BR²+RQ²=4+（3-e）²，
∵AQ=BQ，
∴1+e²=4+（3-e）²，
解得：e=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；

（3）如图2，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，则y_BC=-x+3，M（m，m²-4m+3）（0＜m＜3），
∴N（m，-m+3），
∴MN=-m+3-（m²-4m+3）=-m²+3m，
∴S=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为：$\frac{27}{8}$，此时M（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．

（4）依题意得△CBA面积为3，BC=3$\sqrt{2}$．
当点F在BC上时，AF⊥BC，且AF=$\sqrt{2}$，此时x=DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以分种情况考虑，
①当0＜x≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，△ADE≌△FDE，△ADE∽△ACB，而$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ACB}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²，
∴y=S_△FDE=3•（$\frac{x}{3\sqrt{2}}$）²=$\frac{1}{6}$x²．
②当$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＜x＜3$\sqrt{2}$时，如图3，连结AF交ED于K、交BC于G，EF交BC于H，DF交BC于I，
由△ADE∽△ACB求得FK=AK=$\frac{1}{3}$x，FG=$\frac{2}{3}$x-$\sqrt{2}$，
再由△FHI∽△FED得$\frac{{S}_{△FHI}}{{S}_{△FED}}$=（$\frac{2x-3\sqrt{2}}{x}$）²，
∴S_△FHI=$\frac{1}{6}$x²•$\frac{（2x-3\sqrt{2}）^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{2}{3}$x²-2$\sqrt{2}$x+3．
∴y=S_△FDE-S_△FHI=$\frac{1}{6}$x²-（$\frac{2}{3}$x²-2$\sqrt{2}$x+3）=-$\frac{1}{2}$x²+2$\sqrt{2}$x-3，
综上所述，函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}{x}^{2}（0＜x≤\frac{3\sqrt{2}}{2}）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+2\sqrt{2}x-3（\frac{3\sqrt{2}}{2}＜x＜3\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求函数解析式、三角形的面积问题、相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的性质的知识．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．