Question

13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=4cm，D是AB的中点，现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，FE交AC于M，则△EFG与△ABC重叠部分的面积为（　　）cm²．

• A． $\frac{7\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 过C作CN⊥AB于N，证明△BCD为等边三角形，利用含30°角的直角三角形的性质计算出CN，MF，HM，再表示出△FHM和△FGE的面积，求差即可．

解答 解：如图：过C作CN⊥AB于N，
∵△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2．
∵△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD=AD=2，
∵∠ABC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴NB=$\frac{1}{2}$BD=1，CN=$\sqrt{3}$NB=$\sqrt{3}$，
∵DG=1，AD=2，
∴GH=AG=1，
∴FH=1，
∵∠A=30°，
∴∠A=30°=∠AHG=∠FHM=30°，
∵FE∥CB，∠ACB=90°，
∴MF=$\frac{1}{2}$FH=$\frac{1}{2}$，HM=$\sqrt{3}$FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_△EFG=S_△BCD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
S_△MFH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴S_{四边形GHME}=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{7\sqrt{3}}{8}$（cm²）．
即△EFG与△ABC重叠部分的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{8}$cm²．
故选A．

点评 此题考查了平移的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，关键是准确作出辅助线．