Question

9．在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax²（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积；
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；
（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为$\frac{1}{2}$．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△AOB是等腰直角三角形，求出BE=OE=$\frac{1}{2}$AB=1即可；
（2）先判断出△AMO∽△ONB，然后得到AM×BN=OM×ON，设出点A，B的坐标代换即可；
（3）设出点Q的坐标，分三种情况解方程即可．

解答 解：（1）如图1，

作BE⊥x轴，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴BE=OE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴A（-1，1），B（1，1），
∴A，B两点的横坐标的乘积为-1×1=-1，
∵抛物线y=ax²（a＞0）过A，B，
∴a=1，
∴抛物线y=x²，
（2）如图2，

作BN⊥x轴，作AM⊥x轴，
∴∠AOB=AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△ONB，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴AM×BN=OM×ON，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，
∴AM=y₁=x₁²，BN=y₂=x₂²，OM=-x₁，ON=x₂，
∴x₁²×x₂²=-x₁×x₂，
∴x₁×x₂=-1，
∴A，B两点横坐标的乘积是一个定值；
（3）由（2）得，A，B两点横坐标的乘积是一个定值为-1，
∵点B的横坐标为$\frac{1}{2}$，
∴点A的横坐标为-2，
∵A，B在抛物线上，
∴A（-2，4），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+1，
∴P（$\frac{2}{3}$，0），D（0，1）
设Q（n，0），
∴DP²=$\frac{13}{9}$，PQ²=（n-$\frac{2}{3}$）²，DQ²=n²+1
∵△QDP为等腰三角形，
∴①DP=PQ，
∴DP²=PQ²，
∴$\frac{13}{9}$=（n-$\frac{2}{3}$）²，
∴n=$\frac{2±\sqrt{13}}{3}$，
∴Q₁（$\frac{2+\sqrt{13}}{3}$，0），Q₂（$\frac{2-\sqrt{13}}{3}$，0）
②DP=DQ，
∴DP²=DQ²，
∴$\frac{13}{9}$=n²+1，
∴n=$\frac{2}{3}$（舍）或n=-$\frac{2}{3}$，
Q₃（-$\frac{2}{3}$，0）
③PQ=DQ，
∴PQ²=DQ²，
∴（n-$\frac{2}{3}$）²=n²+1
∴n=-$\frac{5}{12}$，
∴Q4（-$\frac{5}{12}$，0），
∴存在点Q坐标为Q₁（$\frac{2+\sqrt{13}}{3}$，0），Q₂（$\frac{2-\sqrt{13}}{3}$，0），Q₃（-$\frac{2}{3}$，0），Q4（-$\frac{5}{12}$，0），

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用相似三角形的性质得到等积式．