Question

18．例：∵$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}=\frac{1}{2}[\frac{1}{n（+1）}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}]$
∴$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+\frac{1}{3×4×5}+…+$$\frac{1}{n×（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$$-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1×2}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}）=\frac{{n}^{2}+3n}{4（n+1）（n+2）}$
认真领悟上例的解法原理，并根据原理求下列式子的值．
（1）$\frac{1}{1×3×5}+\frac{1}{3×5×7}+\frac{1}{5×7×9}+\frac{1}{7×9×11}$
（2）$\frac{1}{1×3×5}+\frac{1}{3×5×7}+\frac{1}{5×7×9}+…+$$\frac{1}{n（n+2）（n+4）}$．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据（1）中的解答可以解答本题．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×3×5}+\frac{1}{3×5×7}+\frac{1}{5×7×9}+\frac{1}{7×9×11}$
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{1×3}-\frac{1}{3×5}+\frac{1}{3×5}-\frac{1}{5×7}+\frac{1}{5×7}-\frac{1}{7×9}+\frac{1}{7×9}-\frac{1}{9×11}）$
=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{99}）$
=$\frac{8}{99}$；
（2）$\frac{1}{1×3×5}+\frac{1}{3×5×7}+\frac{1}{5×7×9}+…+$$\frac{1}{n（n+2）（n+4）}$
=$\frac{1}{4}（\frac{1}{1×3}-\frac{1}{3×5}+\frac{1}{3×5}-\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{n（n+2）}-\frac{1}{（n+2）（n+4）}）$
=$\frac{1}{4}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{（n+2）（n+4）}）$
=$\frac{{n}^{2}+6n+5}{12（n+2）（n+4）}$．

点评 本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，明确分式混合运算的计算方法．