Question

1．如图，AB是⊙0的直径，BM切⊙0于点B，点P是⊙0上的一个动点（不经过A、B两点），过点0作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ．
（1）求证：PQ与⊙0相切；
（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，$\frac{OC}{AC}$=$\frac{EC}{PC}$，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根据等腰三角形的性质得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根据全等三角形的性质得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件得到AO=OP=6，求得AC=4，OC=2，由勾股定理即可得到结果．

解答 （1）证明：∵OQ∥AP，
∴∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，
又∵OP=OA，
∴∠APO=∠OAP，
又∵∠BOQ=∠EOA=∠OAP，
∴∠POQ=∠BOQ，
在△POQ与△BOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OB}\\{∠POQ=∠BOQ}\\{OQ=OQ}\end{array}\right.$，
∴△POQ≌△BOQ，
∴∠OPQ=∠OBQ=90°，
∵点P在⊙O上，
∴PQ是⊙O的切线；

（2）解：∵PC=2EC，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∵直径AB的长为12，
∴AO=OP=6，
∴AC=4，OC=2，
∴PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．