Question

6．如图，已知等腰△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，并过点D作⊙O的切线交BC于点E，若CD=10，CE=8．
求：（1）DE的长；
（2）⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得AD=CD，则OD=$\frac{1}{2}$BC，OD∥BC，接着利用切线的性质得到OD⊥DE，所以DE⊥BC，然后利用勾股定理计算DE的长；
（2）证明Rt△CDE∽Rt△CBD，利用相似比求出BC，从而得到OD的长．

解答 解：（1）连结BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
而BA=BC，
∴AD=CD，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC，OD∥BC，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥BC，
在Rt△CDE中，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6；
（2）∵∠DCE=∠BCD，
∴Rt△CDE∽Rt△CBD，
∴CD：CB=CE：CD，即10：CB=8：10，解得CB=$\frac{25}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决（1）小题的关键是证明DE⊥BC．