Question

有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你能利用“三角形任意两边之和大于第三边”，在四边形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的距离之和最小吗？

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图,三角形三边关系

专题：

分析：连接AC、BD相交于点P，则点P就是所要找的点；
取不同于点P的任意一点O，连接OA、OB、OC、OD，根据三角形任意两边之和大于第三边可得OA+OC＞AC，OB+OD＞BD，然后结合图形即可得到OA+OB+OC+OD＞PA+PB+PC+PD，从而可得点P就是所要找的四边形ABCD内符合要求的点．

解答：解：要使PA+PB+PC+PD最小，则点P是线段AC、BD的交点．
理由如下：如果存在不同于点P的交点O，连接OA、OB、OC、OD，
那么OA+OC＞AC，
即OA+OC＞PA+PC，
同理，OB+OD＞PB+PD，
∴OA+OB+OC+OD＞PA+PB+PC+PD，
即点P是线段AC、BD的交点时，PA+PB+PC+PD之和最小．

点评：本题考查了三角形的任意两边之和大于第三边的性质，作出图形更助于问题的解决，本题渗透了反证法的思想，希望同学们逐渐适应并熟练掌握．