Question

如图，P为⊙O外一点，∠APC的两边分别交⊙O于点A，B和C，D．如果PA=PC，求证：AB=CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,垂径定理

专题：证明题

分析：连结OP，AC，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．根据等腰三角形的性质及△POE≌△POF全等三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：连结OP，AC，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．
∴∠OEP=∠OFP=90°．
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠PAC-∠OAC=∠PCA-∠OCA，
∴∠PAO=∠PCO．
在△POA和△POC中，

PA=PC ∠PAO=∠PCO OA=OC

，
∴△POA≌△POC（SAS）
∴∠APO=∠CPO．
在△POE和△POF中

∠APO=∠CPO ∠OEP=∠OFP PO=PO

，
∴△POB≌△POD（AAS），
∴OE=OF．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AB=CD．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的判定及性质的运用，垂径定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．