Question

13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG=CH；②GH=$\frac{5}{3}$；③直线GH的函数关系式y=-$\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为$\frac{1}{4}$．其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据矩形性质得到OE=BE，BC∥OA，OA=BC，从判断出△BHE≌△OGE，即可；
②根据矩形的对角线互相平分和圆的切线的性质表示出Rt△MHE中的两边，已知一边，从而求出图形中相关的线段，得到点H，G的坐标，求GH的长，
③由②中得到的点H，G的坐标，利用待定系数法求出直线解析式，
④利用全等三角形，角平分线及圆的切线的性质构造出相似三角形，得出比例式，求出圆的半径．

解答 解：①∵四边形OABC是矩形，
∴OE=BE，BC∥OA，OA=BC，
∴∠HBE=∠GOE，
∵在△BHE和△OGE中，∠HBE=∠GOE，OE=BE，∠HEB=∠GEO，
∴△BHE≌△OGE（ASA），
∴BH=OG，
∴AG=CH．

②如图1，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，则由矩形的性质，点E在AC上．
∵DD=OC=1=$\frac{1}{2}$OA，
∴D是OA的中点，
∵在△CME和△ADE中，
∠MCE=∠DAE，CE=AE，∠MEC=∠DEA，
∴△CME≌△ADE（ASA），
∴CM=AD=2-1=1，
∵BC∥OA，∠COD=90°，
∴四边形CMDO是矩形，
∴MD⊥OD，MD⊥CB，
∴MD切⊙O于D，
∵HG切⊙O于F，E（1，$\frac{1}{2}$），
∴可设CH=HF=x，FE=ED=$\frac{1}{2}$=ME，
在Rt△MHE中，有MH²+ME²=HE²，
即（1-x）²+（$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{1}{2}$+x）²，解得x=$\frac{1}{3}$．
∴H（$\frac{1}{3}$，1），OG=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴G（$\frac{5}{3}$，0）．

∴GH²=（$\frac{5}{3}$-$\frac{1}{3}$）²+（0-1）²=$\frac{25}{9}$，

∴GH=$\frac{5}{3}$，
③设直线GH的解析式是：y=kx+b，
把G、H的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{3}k+b=0}\\{\frac{1}{3}k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线GH的函数关系式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$，

④如图2，连接BG，
∵在△OCH和△BAG中，
CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，
∴△OCH≌△BAG（SAS）．
∴∠CHO=∠AGB．
∵∠HCO=90°，
∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F．
∴OH平分∠CHF．
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA．
∵△CHE≌△AGE，
∴HE=GE．
∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，
∴△HOE≌△GBE（SAS）．
∴∠OHE=∠BGE．
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，
∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA．
∵⊙P与HG、GA、AB都相切，
∴圆心P必在BG上．
过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA．
∴$\frac{PN}{AB}$=$\frac{GN}{AG}$，
设半径为r，则 $\frac{r}{1}=\frac{\frac{1}{3}-r}{\frac{1}{3}}$，解得r=$\frac{1}{4}$．
故选D．

点评 本题是圆的综合题，主要考查了圆中切线的性质和判定，涉及的知识点比较多，如相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等，解本题的关键是构造出直角三角形和相似三角形，难点是不容易找出求⊙P的半径时的三对全等三角形．