Question

2．如图，抛物线y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（　　）

• A． （4，3）
• B． （5，$\frac{35}{12}$）
• C． （4，$\frac{35}{12}$）
• D． （5，3）

Answer 1

分析 连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，-$\frac{1}{12}{m}^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{5}{3}$），根据S_△PAC=S_△PCO+S_△POA-S_△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．

解答 解：连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，-$\frac{1}{12}{m}^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{5}{3}$）
令x=0，则y=$\frac{5}{3}$，点C坐标（0，$\frac{5}{3}$），
令y=0则-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{3}$=0，解得x=-2或10，
∴点A坐标（10，0），点B坐标（-2，0），
∴S_△PAC=S_△PCO+S_△POA-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×m+$\frac{1}{2}$×10×（-$\frac{1}{12}{m}^{2}+\frac{2}{3}m+\frac{5}{3}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×10=-$\frac{5}{12}$（m-5）²+$\frac{125}{12}$，
∴x=5时，△PAC面积最大值为$\frac{125}{12}$，
此时点P坐标（5，$\frac{35}{12}$）．
故点P坐标为（5，$\frac{35}{12}$）．

点评 本题考查二次函数的性质、抛物线与x轴交点，解题的关键是构建二次函数，利用二次函数性质解决问题，属于中考常考题型．