Question

正整数m，n，k满足：mn=k²+k+3，证明不定方程x²+11y²=4m和x²+11y²=4n中至少有一个有奇数解（x，y）．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：证明题

分析：首先证明引例不定方程x²+11y²=4m ①，或有奇数解，或有满足x₀≡（2k+1）y₀（modm） ②的偶数解，其中k是整数．根据引例即可作出证明．

解答：证明：首先我们证明如下一个
引理：不定方程x²+11y²=4m ①
或有奇数解，或有满足x₀≡（2k+1）y₀（modm） ②
的偶数解，其中k是整数．
引理的证明  考虑如下表示x+（2k+1）y，
这表明，共有（[2

m

]+1）（[

m

2

]+1）＞m  个表示，因此存在整数x₁，x₂∈[0，2

m

]，y₁，y₂∈[0，

m

2

]，满足（x₁，y₁）≠（x₂，y₂），且x₁+（2k+1）y₁≡x₂+（2k+1）y₂（modm）
这表明x≡（2k+1）y（modm）③
这时有x=x₁-x₂，y=y₂-y₁，由此可得：x²≡（2k+1）² y²-11y²（modm）
故x²+11y²=km．因为|x|≤2

m

，|y|≤

m

2

．
所以，x+（2k+1）y，x，y为整数，且0≤x≤2

m

，0≤y≤

m

2

则x²+11y²＜4m+

11

4

m＜7m
于是1≤k≤6，因为m为奇数，x²+11y²=2m和x²+11y²=6m显然没有整数根．
（1）若x²+11y²=m，则x₀=2x，y₀=2y是方程的解．是方程①满足②的解．
（2）若x²+11y²=4m，则x₀=x，y₀=y是方程的解．是方程①满足②的解．
（3）若x²+11y²=3m，则（x±11y）²+11（x

.

+

y）²=3²×4m是方程的解．是方程①满足②的解．
首先假设3xm．若x≠0（mod3），y≠0（mod3），且3≠y（mod3）
则x₀=

x-11y

3

，y₀=

x+y

3

 ④是方程①满足②的解；
若x≡y≠0（mod3），则x₀=

x+11y

3

，y₀=

y-x

3

  ⑤是方程①满足②的解．
现在假设3|m，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解，则．
x₀=2x₁，y₀=2y₁，则x₁²+11y₁²=m?36m=（5x₁±11y₁）²+11（5y₁

.

+

x₁）²
以为x₁，y₁的奇偶性不同，所以5x₁±11y₁，5y₁

.

+

x₁都为奇数．
若x≡y（mod3），则x₀=

5x1- 11y1

3

，y₀=

5y1+ x1

3

是方程①的一奇数解．
（4）x²+11y²=5m，则5²•4m=（3x

.

+

11y）²+11（3y±x）²．
当5xm时，若x≡±1（mod5），y=

.

+

2（mod5），
或x=±2（mod5），y=

.

+

1（mod5），则x₀=

3x+11y

3

，y₀=

3y+x

5

 ⑥是方程①满足②的解．
若x₀≡±1（mod5），y≡±2（mod5），或x≡±2（mod5），y≡=

.

+

1（mod5），则
x₀=

3x+11y

5

，y₀=

3y-x

5

  ⑦是方程①的满足②的解．
当5|m，则公式⑥和⑦仍然给方程①的整数解．若方程①有偶数解x₀=2x₁，y₀=2y₁，则x₁²+11y₁²=m，x₁≠y₁（mod2）
可得100m=（x₁=

.

+

33y₁）²+11（y₁±3x₁）²．
若x₁=y₁≡0（mod5），或x₁≡±（mod5），y₁=±2（mod5）或x₁=±2（mod5），y₁=

.

+

1（mod5），则x₀=

x1-33y1

5

，y₀=

y1+3x1

5

是方程①的奇数解．
引例证毕．
由引例，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解（x₀，y₀）．
令l=2k+1，考虑二次方程⑧则x=

-ly0± l2-4mn y 2 0 + 4m

2m

=

-ly0±x0

2m

这表明方程⑧至少有一个整数根x₁，即mx₁²+ly₀x¹+ny₀2-1=0 ⑨上式表明x1必为奇数，
将⑨乘以4n后配方得（2ny₀+lx1）²+11x₁²=4n，
这表明方程x²+11y²=4n有奇数解x=2ny₀+lx₁，y=x₁．

点评：本题主要考查了一元二次方程的整数解，正确理解并且证明引例是解决本题的关键．