Question

8．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）
（1）如图1，若点G是线段CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，求证：△ABF≌△DAE．
（2）如图2，若点G是线段CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，判断线段EF与AF、BF的数量关系，并证明．
（3）若点G是直线BC上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究线段EF与AF、BF的数量关系．（请画图、不用证明、直接写答案）

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可；
（2）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可，根据全等得出AE=BF，代入即可求出答案；
（3）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可，结合G点可能在BC延长线上以及在线段BC上和在CB延长线上分别得出答案．

解答 （1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAF}\\{∠AED=∠AFB}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）解：EF=AF+BF，
理由是：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°-90°=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAF}\\{∠AED=∠AFB}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE+AF=AF+BF；

（3）解：如图3所示：
∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴FB=AE．
∵AE=EF+AF，
∴EF=BF-AF．
如图4，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴AE=BF．
∵AE+EF=AF，
∴EF=AF-BF；
如图5，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴AE=BF．
∵AE+AF=EF，
∴EF=AF+BF．

点评 本题考查了四边形综合、全等三角形的性质和判定以及正方形的性质等知识，利用G点位置的不同分类讨论得出答案是解题关键．