Question

19．如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．线段PQ的垂直平分线与直线BC、AD分别相交与点E、F点．
（1）若E、F分别与B、D重合，求AP的长．
（2）当E、F在边BC、AD上时，设AP=x，BE=y，求y与x的函数关系式及x取值范围；
（3）是否存在这样的一点P，使△PQE为直角三角形？若存在，请求出AP的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出AP的长；
（2）利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出y与x之间的关系进而得出x取值范围；
（3）首先判断只有∠PEQ=90°，得出△PBE≌△ECQ（AAS），进而分析得出答案．

解答 解：（1）如图1，AP=x，则BP=8-x；
∵BD垂直平分PQ；
∴PB=BQ=8-x
Rt△BQC中
（8-x）²=x²+6²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，则AP=$\frac{7}{4}$；

（2）连接EP、EQ
∵EF垂直平分PQ；
∴EP=EQ
在Rt△PBE和Rt△QCE中
（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
则y=$\frac{4x-7}{3}$，
∵0≤y≤6，
∴$\frac{7}{4}$≤x≤$\frac{25}{4}$；

（3）当E在BC边上，若△PQE为直角三角形，则只有∠PEQ=90°，
∵∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEC=90°，
∵∠BPE+∠PEB=90°，
∴∠BPE=∠QEC，
在△PBE和△ECQ中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BPE=QEC}\\{PE=QE}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△ECQ（AAS），
则BE=CQ=x=y，
∵y=$\frac{4x-7}{3}$，
∴解得：x=7，
∵x=7不在定义域范围内，
∴不存在，
当E在边BC（或CB）延长线上时，△PQE每个角都小于90°，不可能为直角三角形，
综上所述，这样的P点不存在．

点评 此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质等知识，正确利用勾股定理得出y与x之间的关系是解题关键．