Question

12．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（　　）

• A． $\frac{{2-\sqrt{2}}}{4}a$
• B． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}a$
• C． $（{\sqrt{2}-1}）a$
• D． $（{2-\sqrt{2}}）a$

Answer 1

分析 如图，正方形ABCD为直径为a的⊙O的内接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，连接OB，则OB=$\frac{1}{2}$a，则可判断△OBE为等腰直角三角形，所以OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，然后计算OF-OE即可．

解答 解：如图，正方形ABCD为直径为a的⊙O的内接正方形，作OE⊥BC于E，交⊙O于F，连接OB，则OB=$\frac{1}{2}$a，
∴△OBE为等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
∴EF=OF-OE=$\frac{1}{2}$a-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$a．
即桌布下垂的最大长度x为$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$a．
故选A．

点评 本题考查了垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．也考查了正方形的性质．