Question

1．在平面直角坐标系xOy中，点C坐标为（6，0），以原点O为顶点的四边形OABC是平行四边形，将边OA沿x轴翻折得到线段OA′，连接A′B交线段OC于点D．
（1）如图1，当点A在y轴上，且A（0，-2）时．
①求A′B所在直线的函数表达式；
②求证：点D为线段A′B的中点．
（2）如图2，当∠AOC=45°时，OA′，BC的延长线相交于点M，试探究$\frac{OD}{BM}$的值，并写出探究思路．

Answer 1

分析 （1）①先由折叠的性质得出点A'的坐标，再确定出点B的坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
②先判断出∠OA'B=∠DBC，进而判断出△A'DO≌△BDC即可得出结论；
（2）先判断出点D为线段A'B的中点进而可得$\frac{DE}{BM}=\frac{A'D}{A'B}$=$\frac{1}{2}$，再判断出等腰直角△ODE．进而得出$\frac{OD}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，即可得出结论．

解答 解：（1）①四边形OABC是平行四边形
∴AO∥BC，AO=BC．
又∵点A落在y轴上，
∴AO⊥x轴，
∴BC⊥x轴．
∵A（0，-2），C（6，0），
∴B（6，-2）．
又∵边OA沿x轴翻折得到线段OA'，
∴A'（0，2）．
设直线A'B的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{6k+b=-2}\end{array}\right.$
解得∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴A'B所在直线的函数表达式为y=-$\frac{2}{3}$x+2． 

证明：②∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO∥BC，AO=BC．
∴∠OA'B=∠DBC．
又∵边OA沿x轴翻折得到线段OA'，
∴AO=OA'．
∴OA'=BC．
又∵∠A'DO=∠BDC，
∴△A'DO≌△BDC．
∴A'D=BD，
∴点D为线段A'B的中点． 

解：（2）$\frac{OD}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
思路：如图，连接AA'交x轴于F点
证明F为AA'的中点；
∴得出点D为线段A'B的中点
∵边OA沿x轴翻折得到线段OA'且∠AOC=45°，
∴∠A'OD=45°，∠A'OA=90°．
∵AO∥BC，
∴∠M=90°．
过点D作DE∥BM交OM于点E，
可得$\frac{DE}{BM}=\frac{A'D}{A'B}$=$\frac{1}{2}$，
还可得到等腰直角△ODE．
∴$\frac{OD}{DE}=\frac{\sqrt{2}}{1}$．
∴$\frac{OD}{BM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了折叠的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，解本题的关键是作出辅助线．