Question

18．（1）问题发现：
如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为NC∥AB；
（2）深入探究：
如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：
如图③，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=$\sqrt{2}$，试求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
（2）根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案．

解答 解：（1）NC∥AB，理由如下：
∵△ABC与△MN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM与△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAM=∠CAN}&{\;}\\{AM=AN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠B=∠ACN=60°，
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，
∴CN∥AB；
故答案为：CN∥AB；

（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，
∴△ABC～△AMN
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
∵AB=BC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），
∵AM=MN
∴∠MAN=$\frac{1}{2}$（180°-∠AMN），
∵∠ABC=∠AMN，
∴∠BAC=∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
∴∠ABC=∠ACN；

（3）如图3，连接AB，AN，
∵四边形ADBC，AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC
即∠BAM=∠CAN，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
∴△ABM～△ACN
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{BM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BM=2，∴CM=BC-BM=8，
在Rt△AMC，
AM=$\sqrt{A{C}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
∴EF=AM=2$\sqrt{41}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．