Question

10．如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF与AC交于点O，与AD交于点E，与BC交于点F，连接EC，AF，
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若EF=8，AC=6，求菱形AFCE的面积．

Answer 1

分析 （1）菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；

解答 （1）证明：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．
在△AOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形；

方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是菱形；

（2）S_菱形AFCE=$\frac{1}{2}$•AC•EF=$\frac{1}{2}$×6×8=24．

点评 考查了菱形的判定和性质、中垂线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．