Question

5．如图所示，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形=EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质推出即可；
（2）根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解．

解答 （1）证明：∵四边EFPQ是矩形，
∴EQ=HD=FP，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）．

（2）解：∵由（1）得$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴$\frac{AH}{8}$=$\frac{x}{10}$．
∴AH=$\frac{4}{5}$x．
∴EQ=HD=AD-AH=8-$\frac{4}{5}$x．
∴y=EF×EQ=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20．
∵a=-$\frac{4}{5}$＜0，
∴当x=5时，y的最大值为20．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．