Question

14．如图，AB是⊙O的直径，BD，EF是⊙O的弦，EF⊥AB于点H，交BD于点G，过点D的直线与EF的延长线交于点C，若△CDG是等边三角形．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，HB=2，求△CDG的周长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，先证∠CDG=60°，再证出∠ODB=30°，得出∠ODC=90°，即可得出结论；
（2）根据锐角三角函数求出BD、BG，得出DG，即可求出周长．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵△CDG是等边三角形，
∴∠CDG=∠CGD=60°，
∴∠BGH=∠CGD=60°，
∵EF⊥AB，
∴∠BHG=90°，
∴∠B=30°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B=30°，
∴∠ODB+∠CDG=90°，
即∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=10，∠B=30°，
∴BD=AB•sin30°=5$\sqrt{3}$，
∵BG=$\frac{BH}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴DG=5$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{11\sqrt{3}}{3}$，
∴CDG的周长=3DG=11$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、等边三角形的性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键．