Question

19．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D是弧AC上一点，连接BD，E是BD上一点，且BE=CD．
（1）求证：△AED为等腰三角形；
（2）已知∠BCA=60°，ED=8，CD=2，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ABE与∠ACD，再根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，可得AE与AD的关系，根据等腰三角形的性质，可得答案．
（2）由（1）中的结论和圆周角定理判定△AED是等边三角形，则在△ABE中，利用余弦定理得到AB的长度，则AC=AB．

解答 （1）证明：∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴AE=AD，
即△AED为等腰三角形；

（2）由（1）知，AE=AD．
∵∠BCA=60°，
∴∠BDA=∠BCA=60°，
∴∠ADE=60°．
∴△AED是等边三角形，
∴AE=DE=8∠AEB=120°，
∴AB=$\sqrt{AE^2+BE^2-2AE•BEsin120°}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理和等腰三角形的性质．利用了同弧的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．