已知抛物线抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数.且0＜a1＜a2＜-＜an)与x轴的交点为An-1(bn-1.0)和An(bn.0).当n=1时.第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0.0)和A1(b1.0).其他依此类推．(1)求a1.b1的值及抛物线y2的解析式,(2)抛物线y3的顶点坐标为(9.9),依此类推第n条抛物线yn的顶点坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知抛物线抛物线y_n=-（x-a_n）²+a_n（n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1，0）和A_n（b_n，0），当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．
（1）求a₁，b₁的值及抛物线y₂的解析式；
（2）抛物线y₃的顶点坐标为（9，9）；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（n²，n²）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是y=x；
（3）探究下列结论：
若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A₀A₁的值，并求出A_n-1A_n．

分析（1）因为点A₀（0，0）在抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁上，可求得a₁=1，则y₁=-（x-1）²+1；令y₁=0，求得A₁（2，0），b₁=2；再由点A₁（2，0）在抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂上，求得a₂=4，y₂=-（x-4）²+4．
（2）求得y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．
（3）由A₀（0，0），A₁（2，0），求得A₀A₁=2；y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，求得A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），所以A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．

解答解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A₀（0，0），
∴0=-（0-a₁）²+a₁，
解得a₁=1或a₁=0．
由已知a₁＞0，
∴a₁=1，
∴y₁=-（x-1）²+1．
令y₁=0，即-（x-1）²+1=0，
解得x=0或x=2，
∴A₁（2，0），b₁=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y₂=-（x-a₂）²+a₂经过点A₁（2，0），
∴0=-（2-a₂）²+a₂，
解得a₂=1或a₂=4，
∵a₁=1，且已知a₂＞a₁，
∴a₂=4，
∴y₂=-（x-4）²+4．
∴a₁=1，b₁=2，y₂=-（x-4）²+4．

（2）抛物线y₂=-（x-4）²+4，令y₂=0，即-（x-4）²+4=0，
解得x=2或x=6．
∵A₁（2，0），
∴A₂（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y₃=-（x-a₃）²+a₃经过点A₂（6，0），
∴0=-（6-a₃）²+a₃，
解得a₃=4或a₃=9．
∵a₂=4，且已知a₃＞a₂，
∴a₃=9，
∴y₃=-（x-9）²+9．
∴y₃的顶点坐标为（9，9）．
由y₁的顶点坐标（1，1），y₂的顶点坐标（4，4），y₃的顶点坐标（9，9），
依此类推，y_n的顶点坐标为（n²，n²）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

故答案是：9，9；n²，n²；y=x；

（3）∵A₀（0，0），A₁（2，0），
∴A₀A₁=2．
y_n=-（x-n²）²+n²，令y_n=0，即-（x-n²）²+n²=0，
解得x=n²+n或x=n²-n，
∴A_n-1（n²-n，0），A_n（n²+n，0），
即A_n-1A_n=（n²+n）-（n²-n）=2n．