Question

3．如图，等边△ABC的边长为6，AO⊥BC于D，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求证：点D在线段BE的垂直平分线上；
（2）求∠CBE的度数；
（3）求点C到直线BE的距离．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由等边△ABC中，AO⊥BC，得到直线AO是BC边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（2）由等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

解答 解：（1）如图1证明：连结BD，
∵等边△ABC中，AO⊥BC，
∴直线AO是BC边的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵△CDE是等边三角形，即DE=DC，
∴DE=BD，∴点D在线段BE的垂直平分线上；

（2）∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD，
∵在等边△ABC中，AO⊥BC，
∴AO是∠BAC的角平分线，即∠CAD=∠CBE=30°；

（3）如图2过点C作CG⊥BE，交BE的延长线于G，
∴在△CBE中，∠CBE=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$CB=3．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．