Question

如图，已知BC为半圆O的直径，

AB

=

AF

，AC与BF交于点M．
（1）若∠FBC=α，求∠ACB的度数（用α表示）；
（2）过点A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先由BC为半圆O的直径，根据圆周角定理得出AB⊥AC，那么∠ABF+∠FBC+∠ACB=90°①，再由

AB

=

AF

，根据圆周角定理得出∠ABF=∠ACB，代入①得2∠ACB+∠FBC=90°，再将∠FBC=α代入，即可求出∠ACB=45°-

1

2

α；
（2）先证明BE=AE，再证明EM=AE，即可证明BE=EM．

解答：解：（1）∵BC是直径，
∴AB⊥AC，
∴∠ABF+∠FBC+∠ACB=90°．
∵弧AB=弧AF，
∴∠ABF=∠ACB，
∴2∠ACB+∠FBC=90°，
又∠FBC=α，
∴2∠ACB+α=90°，
∴∠ACB=45°-

1

2

α；

（2）∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BAE=∠ACB．
∵∠ABF=∠ACB，
∴∠BAE=∠ABF，
∴BE=AE．
∵∠AME=90°-∠ABF，∠EAM=90°-∠ACB，而∠ABF=∠ACB，
∴∠AME=∠EAM，
∴EM=AE．
∴BE=EM．

点评：本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，难度适中．