Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH=HC，HG∥AD交AC于点G，BD=7，AD=5，DH=3．
（1）求证：AH⊥BC；
（2）求AG的长．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,勾股定理

专题：

分析：（1）根据三角形的中线的性质，可得DC的长，根据线段的和差，可得HC的长，根据勾股定理的逆定理，可得答案；
（2）根据平行线分线段成比例，可得

CG

AC

=

HC

CD

，根据比例的性质，可得答案．

解答：（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴DC=BD=7，
∵DH+HC=DC=7，
∴HC=DC-DH=7-4=3．
∵AH=HC，
∴AH=CH=3，
∵AH²+DH²=25，AD²=25，
∴AH²+DH²=AD²，
∴∠AHD=90°，
∴AH⊥BC；
（2）设AG=x，
由勾股定理得AC=

AH2+HC2

=4

2

，
∵HG∥AD，

CG

AC

=

HC

CD

，即

4 2 -x

4 2

=

3

7

，
解得x=

16 2

7

．

点评：本题考查了平行线分线段成比例，利用了勾股定理的逆定理，平行线分线段成比例．