Question

3．如图，△ABC是正三角形，D，E分别是AB，BC上的点，其中CE=$\frac{1}{4}$CB，以AD，AE为邻边向下作一个平行四边形ADGE，DG交BC于点F，延长GE交AC于点H，连结DH，若S_△BDF=9，S_△GEF=1那么四边形DFEH的面积为（　　）

• A． 6
• B． $\frac{16}{3}$
• C． $\frac{25}{3}$
• D． 7

Answer 1

分析 由EG∥BD，推出△EFG∽△BFD，得到$\frac{{S}_{△EFG}}{{S}_{△BDF}}$=（$\frac{EF}{BF}$）²=$\frac{1}{9}$，所以BF=3EF，再证明EG=EH，由此可以求出△EFH面积，△DFH面积解决问题．

解答 解：如图，连接HF，
设等边三角形ABC边长为4a，
∵四边形ADGE是平行四边形，
∴EG∥BD，AD=EG，
∴△EFG∽△BFD
∴$\frac{{S}_{△EFG}}{{S}_{△BDF}}$=（$\frac{EF}{BF}$）²=$\frac{1}{9}$，
∴BF=3EF，
∵$\frac{EG}{BD}$=$\frac{FG}{DF}$=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{1}{3}$，EC=$\frac{1}{4}$BC=a，
∴AD=EG=EC=a，
∵HE∥AB，
∴∠CEH=∠B=60°，
∴△EHC是等边三角形，
∴EH=EC=EG，
∴S_△EFH=S_△EFG=1，
∴S_△GHF=2，
∴S_△DFH=3S_△FGH=6，
∴四边形DFEH的面积=S_△DFH+S_△EFH=7．
故选D．

点评 本题考查平行四边形性质、相似三角形的性质，解题的关键是利用异底同高的两个三角形面积比等于底的比，属于中考填空题中的压轴题．