Question

13．如图，点A，B，C是⊙O上三点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，若CD=3，AC=5，则cos∠ABE的值为（　　）

• A． $\frac{7}{12}$
• B． $\frac{7}{24}$
• C． $\frac{24}{25}$
• D． $\frac{16}{25}$

Answer 1

分析 作OH⊥AD于D，连结OA、OE，如图，设⊙O的半径为r，先根据勾股定理计算出AD=4，再利用切线的性质可判断OC⊥CD，则可判断四边形OCDH为矩形，所以OH=CD=3，OC=DH=r，接着在Rt△AOH中利用勾股定理得到r²=3²+（4-r）²，解得r=$\frac{25}{8}$，于是根据三角函数的定义得cos∠AOH=$\frac{OH}{OA}$=$\frac{24}{25}$，然后根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOH，则cos∠ABC=$\frac{24}{25}$．

解答 解：作OH⊥AD于D，连结OA、OE，如图，设⊙O的半径为r，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴四边形OCDH为矩形，
∴OH=CD=3，OC=DH=r，
∴AH=AD-DH=4-r，
在Rt△AOH中，r²=3²+（4-r）²，解得r=$\frac{25}{8}$，
∴cos∠AOH=$\frac{OH}{OA}$=$\frac{3}{\frac{25}{8}}$=$\frac{24}{25}$，
∵OA=OE，OH⊥AE，
∴∠AOH=∠EOH，
∵∠AOE=2∠ABC，
∴∠ABC=∠AOH，
∴cos∠ABC=$\frac{24}{25}$．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了勾股定理．