Question

17．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线　　　　　
②∠ADC=60°
③△ABD是等腰三角形　　
④点D到直线AB的距离等于CD的长度．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据基本作图（作已知角的角平分线）可对①进行判断；利用AD为角平分线可得∠DAB=30°，则根据三角形外角性质可计算出∠ADC=∠DAB+∠B=60°，则可对③进行判断；根据角平分线的性质可对④进行判断．

解答 解：根据基本作图，所以①正确，
因为∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，则∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°，所以②正确；
因为∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正确；
因为AD平分∠BAC，所以点D到AB与AC的距离相等，而DC⊥AC，则点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了作图-基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．