Question

11．根据图形回答问题：

（1）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作等边三角形，试回答△ACE可看作哪个三角形怎么样旋转得到．（不用说明理由）
（2）线段AB上任取一点C，分别以AC和BC为边作正方形，连接DG，M为DG中点，连接EM并延长交FG于N，连接FM，猜测FM和EM的关系，并说明理由．
（3）在（2）的基础上将正方形CBGF绕C点旋转，其它条件不变，猜测FM和EM的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可得出△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到；
（2）根据全等三角形的判定和性质，易证△DME≌△GMN，得出△NFE是等腰直角三角形，所以FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）；
（3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN，先证明△DME≌△GMN，再证明△ECF≌△NGF，得出△EFN是等腰直角三角形，所以FM⊥ME，并且FM=ME．

解答 解：（1）将△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到△DCB，所以可得△ACE可以由△DCB以C点为轴逆时针旋转60度得到．
（2）FM⊥ME，FM=ME
连接GN和DE，
在△DME和△GMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDE=∠MHG}\\{∠DME=∠GMN}\\{DM=MG}\end{array}\right.$
∴△DME≌△GMN（AAS），
∴DM=MN，DE=NG
∴FN=FG-NG=FG-DE=FC-EC=FE，
∴△NFE是等腰直角三角形，
∴FM⊥ME，并且FM=ME（等腰三角形中线就是垂线，直角三角形中线等于斜边的一半）
（3）延长EM至N点，使EM=MN，连接NG、EF、FN．（EC与DM的交点标为P，FC与DM交点标为Q）
在△DME和△GMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=MN}\\{∠DME=∠GMN}\\{DM=MG}\end{array}\right.$
∴△DME≌△GMN．
∴DE=NG，∠EDM=∠NGM
∴EC=NG
∵∠ECF=180°-∠CPQ-∠CQP=180°-∠DPE-∠FQG
=180°-（90°-∠MDE）-（90°-∠FGM）=∠EDM+∠FGM，
∵∠NGM+∠FGM=∠NGF，
∴∠ECF=∠NGF
∵EC=DE=NG
在△ECF和△NGF中
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FG}\\{∠ECF=∠NGF}\\{EC=NG}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△NGF
∴EF=NF，∠EFC=∠NFG
∴∠EMN=∠EFC+∠CFN=∠NFG+∠CFN=∠CFG=90°
∴△EFN是等腰直角三角形
∴FM⊥EM，并且FM=EM

点评 本题主要考查旋转的性质，三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，关键根据旋转的性质：旋转变化前后，对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变分析，构造全等三角形解决问题．