Question

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），与Y相交于点C顶点为D
（1）直接写出ABC点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P线段BC一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P横坐标为m
①用含m代数式表示线段PF，并求出当m何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当m取何值时，S有最大值，最大值是多少．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=-

b

2a

可得出对称轴的解析式．
（2）①PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．
②可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式，由此可求出S的最大值．

解答：解：（1）设0=-x²+2x+3，
解得：x=-1或3，
∵抛物线y=-x²+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），
∴A（-1，0），B（3，0），
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴C（0，3），
∴抛物线的对称轴是：直线x=1．                

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

3k+b=0 b=3

，
解得：k=-1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）．
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）．
∴线段DE=4-2=2，线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m．
∵PF∥DE，
ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．   
②设直线PF X点M由B（3，0），O（0，0），
可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S_△BPF+S_△CPF．
∴S=

1

2

PF×BM+

1

2

PF×OM=

1

2

PF×(BM+OM)=

1

2

PF×OB
∵S=

1

2

×3(-m2+3m)=-

3

2

m2+

9

2

m(0≤m≤3)．
∵S=-

3

2

(m-

3

2

)2+

27

8

∴当m=

3

2

，S最大值=

27

8

．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础，其中用到的知识点有平行四边形的判定和性质、解一元二次方程、用待定系数法确定一次函数的解析式，三角形面积公式的运用．