Question

探索研究：
A：观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：

（1）如图a，图中共有

 

对不同对顶角；
（2）如图b，图中共有

 

对不同的对顶角；
（3）如图c，图中共有

 

对不同的对顶角．
（4）研究（1）-（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成

 

对对顶角
（5）计算2013条直线相交于一点，则可形成

 

对对顶角
B：
（1）3条直线两两相交最多有

 

个交点，此时有

 

对不同的对顶角
（2）4条直线两两相交最多有

 

个交点，此时有

 

对不同的对顶角
（3）n条直线两两相交最多有

 

个交点，此时有

 

对不同的对顶角
（4）计算2013条直线最多有

 

个交点，则可形成

 

对不同的对顶角，那么2013条直线最多形成

 

对不同的对顶角．

Answer 1

考点：对顶角、邻补角

专题：规律型

分析：A．（1）（2）（3）分别根据对顶角的定义计算即可得解；
（4）根据对顶角的对数和直线的条数的规律写出即可；
（5）把n=2013代入（4）的公式计算即可得解．
B．（1）、（2）可通过画图得出交点个数，
（3）通过以上两题找出规律解答；

解答：A．解：（1）有2对对顶角；
（2）有6对对顶角；
（3）有12对对顶角；
（4）有n条直线时，有n（n-1）对对顶角；
（5）n=2013时，可形成2013×2012=4050156对顶角．
故答案为：2，6，12，n（n-1），4050156．
B解：（1）如图（1），可得三条直线两两相交，最多有3个交点；有6对对顶角．
（2）如图（2），可得四条直线两两相交，最多有6个交点；又12对对顶角．
（3）由（1）得，

3(3-1)

2

=3，
由（2）得，

4(4-1)

2

=6；
∴可得，n条直线两两相交，最多有

n(n-1)

2

个交点（n为正整数，且n≥2）．有n（n-1）对对顶角．

（4）当n=2013时，有2025078个交点，有4050156对对顶角．
故答案为3，6；6，12；

n(n-1)

2

，n（n-1）；2025078，4050156，4050156，．

点评：本题考查了对顶角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键．本题还考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．