Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接BD、CD，且∠ACB=∠BDC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若AC=2

3

，求⊙O的周长．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）若要证明△ABC是等边三角形，则只要证明∠A=∠ACB=∠ABC=60°即可；
（2）根据AC的长，可以求出圆的半径，进而可求出⊙O的周长．

解答：（1）证明：∵∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠A=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC=120°，
∵AC=2

3

，
∴BC=2

3

，
∴BO=2，
∴⊙O的周长是4π．

点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质以及圆的周长公式的运用，题目比较简单，是中考常见题型．