Question

2．如图1，经过原点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一个交点为点C；与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于点A，B；直线AB与分别与x轴、y轴交于点D，E．已知点A的坐标为（-1，4），点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC的面积；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点在原点上时，直线AB随之平移，试判断：在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PAB的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据点A的坐标求出双曲线的解析式，进而得出点B的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先求出直线AB的解析式，进而求出点D的坐标，最后用三角形的面积和求解即可；
（3）先确定出平移后点A，B的坐标，进而求出点A关于y轴的对称点的坐标，求出直线BA'的解析式即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）把点A的坐标代入双曲线的解析式得：k=-1×4=-4．
所以双曲线的解析式为y=-$\frac{4}{x}$．
设点B的坐标为（m，-m）．
∵点B在双曲线上，
∴-m²=-4，解得m=2或m=-2．
∵点B在第四象限，
∴m=2．
∴B（2，-2）．
将点A、B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=4}\\{4a+2b+c=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=x²-3x．
（2）如图1，连接AC、BC．
令y=0，则x²-3x=0，
∴x=0或x=3，
∴C（3，0），
∵A（-1，4），B（2，-2），
∴直线AB的解析式为y=-2x+2，
∵点D是直线AB与x轴的交点，
∴D（1，0），
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×2×2=6；

（3）存在，理由：如图2，
由原抛物线的解析式为y=x²-3x=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴原抛物线的顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∴抛物线向左平移$\frac{3}{2}$个单位，再向上平移$\frac{9}{4}$个单位，
而平移前A（-1，4），B（2，-2），
∴平移后点A（-$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴点A关于y轴的对称点A'（$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$），
连接A'B并延长交y轴于点P，连接AP，
由对称性知，∠APE=∠BPE，
∴△APB的内切圆的圆心在y轴上，
∵B（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），A'（$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∴直线A'B的解析式为y=3x-$\frac{5}{4}$，
∴P（0，-$\frac{5}{4}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，对称的性质，解（1）的关键是求出点B的坐标，解（2）的关键是求出点D的坐标，解（3）的关键是确定出点A关于y轴的对称点A'的坐标，是一道基础题目．