Question

14．阅读理解：
如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA₁最短，则线段PA₁的长度称为点P到图形l的距离．

例如：图②中，线段P₁A的长度是点P₁到线段AB的距离；线段P₂H的长度是点P₂到线段AB的距离．
解决问题：
如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．
（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；
（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？
（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

Answer 1

分析 （1）作AC⊥x轴，由PC=4、AC=4，根据勾股定理求解可得；
（2）作BD∥x轴，分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P位于AC左侧时，根据勾股定理即可得；P位于AC右侧时，作AP₂⊥AB，交x轴于点P₂，证△ACP₂≌△BEA得AP₂=BA=5，从而知P₂C=AE=3，继而可得答案；
（3）分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P位于AC左侧时，根据勾股定理即可得；点P位于AC右侧且P₃M=6时，作P₂N⊥P₃M于点N，知四边形AP₂NM是矩形，证△ACP₂∽△P₂NP₃得$\frac{A{P}_{2}}{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{C{P}_{2}}{N{P}_{3}}$，求得P₂P₃的长即可得出答案．

解答 解：（1）如图1，作AC⊥x轴于点C，

则AC=4、OC=8，
当t=4时，OP=4，
∴PC=4，
∴点P到线段AB的距离PA=$\sqrt{P{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$；

（2）如图2，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，

①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、P₁A=5，
∴P₁C=$\sqrt{{P}_{1}{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴OP₁=5，即t=5；
②当点P位于AC右侧时，过点A作AP₂⊥AB，交x轴于点P₂，
∴∠CAP₂+∠EAB=90°，
∵BD∥x轴、AC⊥x轴，
∴CE⊥BD，
∴∠ACP₂=∠BEA=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠P₂AC，
在△ACP₂和△BEA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AC{P}_{2}=∠BEA=90°}\\{AC=BE=4}\\{∠{P}_{2}AC=∠ABE}\end{array}\right.$，
∴△ACP₂≌△BEA（ASA），
∴AP₂=BA=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
而此时P₂C=AE=3，
∴OP₂=11，即t=11；

（3）如图3，
①当点P位于AC左侧，且AP₃=6时，

则P₃C=$\sqrt{A{{P}_{3}}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OP₃=OC-P₃C=8-2$\sqrt{5}$；
②当点P位于AC右侧，且P₃M=6时，
过点P₂作P₂N⊥P₃M于点N，
则四边形AP₂NM是矩形，
∴∠AP₂N=90°，∠ACP₂=∠P₂NP₃=90°，AP₂=MN=5，
∴△ACP₂∽△P₂NP₃，且NP₃=1，
∴$\frac{A{P}_{2}}{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{C{P}_{2}}{N{P}_{3}}$，即$\frac{5}{{P}_{2}{P}_{3}}$=$\frac{3}{1}$，
∴P₂P₃=$\frac{5}{3}$，
∴OP₃=OC+CP₂+P₂P₃=8+3+$\frac{5}{3}$=$\frac{38}{3}$，
∴当8-2$\sqrt{5}$≤t≤$\frac{38}{3}$时，点P到线段AB的距离不超过6．

点评 本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．