Question

10．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，O为坐标原点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若将此抛物线向下平移h个单位长度，使平移后的抛物线顶点落在Rt△BOC内（包括△BOC边界），求h的范围；
（3）试问在y轴上是否存在一点P，使∠OPA+∠OCA=∠CBA？若存在，求出CP之长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）先将抛物线的解析式化为顶点式，进而得出平移后的抛物线解析式，再确定出直线BC的解析式，进而确定出点M，N的坐标，即可得出h的范围；
（3）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况，①判断出△COA～△CDP得出比例式即可得出结论；
②借助①和轴对称即可得出结论．

解答 解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，

（2）由（1）得，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+3，
平移后的抛物线为：y=-（x-1）²+3-h，
∴平移后的抛物线顶点为（1，3-h），
设直线BC的解析式为：y=mx+n，
将B（3，0）、C（0，3）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴N（1，0），M（1，2），
由图顶点（1，3-h）在MN间移动，
∴1≤3-h≤2，
∴2≤h≤3，

（3）存在，
理由：①当P在y轴负半轴上时，如图，
过点P作AC的垂线，垂足为D，
∵∠OPA+∠OCA=∠PAD，
又∵∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
∵AO=1，CO=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
设AD=PD=x，则CD=AC+AD=x+$\sqrt{10}$，
又∵∠PDA=∠COA=90°，∠PCD=∠ACO，
∴△COA～△CDP，
∴$\frac{CO}{CD}=\frac{AO}{PD}=\frac{AC}{PC}$，
∴$\frac{3}{x+\sqrt{10}}=\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{10}}{PC}$，
∴x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，PC=$\sqrt{10}$x=5，
PO=PC-OC=5-3=2；                        
②当P₁在y轴正半轴上时，取OP₁=OP=2，如图，
则由对称知：∠OP₁A=∠OPA，P₁O=PO=2，
∴∠OP₁A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA═45°，
同理P₁也满足题目条件，∴P₁C=OC-OP₁=3-2=1，
综合以上得：PC=5或1．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是判断出平移后的抛物线的解析式，解（3）的关键是判断出△COA～△CDP，是一道中等难度的题目．