Question

12．在△ABC和△BDE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，DB=DE，连接CE，点M为CE的中点，过点C与DE平行的直线交DM的延长线于点N．
（1）当点A、B、D在同一条直线上时（如图1），求证：CN=ED；
（2）将图1中的△ABC绕点B逆时针旋转，当点C、B、D在同一条直线上时（如图2），判断线段AN与AD的关系，并给出证明；
（3）将图2中△ABC绕点B继续逆时针旋转到图3的位置时，请直接写出△ADN的形状．

Answer 1

分析 （1）先由CN∥DE，得出∠MNC=∠EDM，再由点M是CE中点，得出CM=EM，从而有△MNC≌△MDE即可；
（2）先由平角的定义和等腰直角三角形的底角为45°，判断出∠ACN=∠ABD，利用等腰直角三角形的边相等，得出△MNC≌△MDE，即可：
（3）先由周角和等腰三角形的底角为45°，借助平行线得出的∠NCE=∠DEC从而判断出∠ACN=∠ABD，利用等腰直角三角形的边相等，得出△MNC≌△MDE，即可：

解答 解：（1）∵CN∥DE，
∴∠CNM=∠EDM，
∵点M是CE中点，
∴CM=EM，
在△MNC和△MDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNM=∠EDM}\\{∠CMN=∠EMD}\\{CM=EM}\end{array}\right.$
∴△MNC≌△MDE，
∴CN=ED，
（2）AN=AD，AN⊥AD
理由：∵CN∥ED，
∴∠NCD+∠EDC=180°，
∵∠EDC=90°，
∴∠NCD=90°，
∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠ACN=∠NCD+∠ACB=135°，∠ABD=135°，
∴∠ACN=∠ABD，
由（1）有，CN=ED=BD，
在△ACN和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACN=∠ABD}\\{CN=BD}\end{array}\right.$，
∴△MNC≌△MDE，
∴AN=AD，∠CAN=∠BAD，
∴∠NAD=∠NAE+∠BAD=∠NAE+∠CAN=∠BAC=90°，
∴AN⊥AD；
（3）△ADN是等腰直角三角形，
理由：∵CN∥DE，
∴∠NCE=∠DEC，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACN=∠NCE+∠ECB+45°=∠DEC+∠ECB+45°=∠BEC+∠BED+∠ECB+45°=∠BEC+45°+∠ECB+45°
=90°+（∠BEC+∠ECB）=90°+180°-∠CBE=270°-∠CBE=270°-（360°-∠ABC-∠DBE-∠ABD）=270°-（360°-45°-45°-∠ABD）=∠ABD，
由（1）有，CN=ED=BD，
在△ACN和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACN=∠ABD}\\{CN=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△ABD
∴AN=AD，∠CAN=∠BAD，
∴∠NAD=∠NAE+∠BAD=∠NAE+∠CAN=∠BAC=90°，
∴AN⊥AD；
∴∠DAN=90°，
∴△ADN是等腰直角三角形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是得出∠ABD=∠ACN，也是解本题的难点，（2）（3）中判断∠ABD=∠ACN的方法有所差异，尤其是（3）不易找到∠ABD=∠ACN．