题目内容
1．把两个全等的等腰直角三角板（直角边长为4）叠放在一起，且三角板EFG的直角顶点G位于三角板ABC的斜边中点处．现将三角板EFG绕G点按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜90°）（如图1），四边形GKCH为两三角板的重叠部分．（1）猜想BH与CK有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）连接HK（如图2），在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，
①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当△GKH的面积恰好等于△ABC面积的$\frac{5}{16}$，求x．
分析 （1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；
（2）①由（1）易得S四边形CHGK=$\frac{1}{2}$S△ABC，然后根据面积公式得出y=$\frac{1}{2}$x2-2x+4；
②根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的$\frac{5}{16}$，代入得出方程即可求得结果．
解答 解：（1）BH=CK．
理由如下：∵点O是等腰直角三角板ABC斜边中点，
∴∠B=∠GCK=45°，BG=CG，
由旋转的性质，知∠BGH=∠CGK，
在△BGH和△CGK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠GCK}\\{BG=CG}\\{∠BGH=∠CGK}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK；
（2）①∵△BGH≌△CGK，
∴S四边形CHGK=S△CGK+S△CGH=S△BGH+S△CGH=S△BCG=$\frac{1}{2}$S△ABC=4，
∴S△GKH=S四边形CHGK-S△KCH=4-$\frac{1}{2}$CH×CK，
∴y=$\frac{1}{2}$x2-2x+4（0＜x＜4），
②当y=$\frac{5}{16}$×8=$\frac{5}{2}$时，即 $\frac{1}{2}$x2-2x+4=$\frac{5}{2}$，
∴x=1 或x=3．
∴当△GKH的面积恰好等于△ABC面积的$\frac{5}{16}$时，BH=1 或BH=3．
点评 此题属于几何变换的综合题．主要考查了全等三角形的判定以及等腰直角三角形性质．解答本题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
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如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C坐标为（1，-2），点D的横坐标为$\frac{19}{5}$，将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴上，抛物线y=ax2+bx+c以点C为顶点，且经过点B，它与x轴的另一个交点为点A．| 购票人数 | 1-50人 | 51-100人 | 100人以上 |
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