Question

4．如图，线段AB=8，点C为线段AB的中点，四边形ADEP为长方形，且AD=2，AP=1，将长方形ADEP沿射线AB方向平移得到长方形A′D′E′P′．
（1）直接写出线段AC的长．
（2）当以A′、P′、C为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求所有符合条件的平移距离x的值．
（3）若点C与点C′关于A′P′成轴对称，当点C′落在线段A′D′上时（见图②），请直接写出平移距离x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由线段中点的定义得出AC=$\frac{1}{2}$AB=4即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得出∠P′A′C=90°，A′C=A′P′=AP=1，当点A′在点C的左侧时，x=AA′=3；当点A′在点C的右侧时，x=AA′=5；即可得出结果；
（3）由轴对称的性质得出A′C′=A′C，当x=4时，A′与C重合；当x=6时，C′与D′重合，即可得出结果．

解答 解：（1）∵线段AB=8，点C为线段AB的中点，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=4；
（2）∵A′、P′、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，∠P′A′C=90°，
∴A′C=A′P′=AP=1，
当点A′在点C的左侧时，x=AA′=4-1=3；
当点A′在点C的右侧时，x=AA′=4+1=5；
综上所述：当以A′、P′、C为顶点的三角形是等腰直角三角形时，平移距离x的值为3或5．
（3）∵点C与点C′关于A′P′成轴对，
∴A′C′=A′C，
当x=4时，A′与C重合；
当x=6时，C′与D′重合，
∴点C与点C′关于A′P′成轴对称，当点C′落在线段A′D′上时，平移距离x的取值范围为4≤x≤6．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和平移的性质是解决问题的关键．