在等边△ABC中.点D是线段BC的中点.∠EDF=120°.线段DE与线段AB相交于点E．线段DF与线段AC相交于点F．(1)如图一.若DF⊥AC.请直接写出DE与AB的位置关系,(2)请判断DE与DF的数量关系．并写出推理过程．中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度.DF仍与线段AC相交于点F．(2)中的结论还成立吗?若成立.写出证明过程.若不成立.说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在等边△ABC中，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，线段DE与线段AB相交于点E．线段DF与线段AC相交于点F．
（1）如图一，若DF⊥AC，请直接写出DE与AB的位置关系；
（2）请判断DE与DF的数量关系．并写出推理过程．
（3）如图二，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由．
（4）在∠EDF绕点D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系．

分析（1）根据四边形的内角和即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可得到结论；
（3）连接AD，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，由点D是线段BC的中点，得到AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质得到DM=DN，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（4）如图2（a）中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．根据全等三角形的性质得到BM=CN，DM=DN，ME=NF，于是得到结论．

解答解：（1）∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵∠A=60°，∠EDF=120?，
∴∠AED=360°-∠A-∠AFD-∠EDF=90°，
∴DE⊥AB；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵点D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF；

（3）（2）中的结论还成立连接AD，
过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
∵点D是线段BC的中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴DM=DN，
∵∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°
∵∠A=60°，
∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△EMD和△FND中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠FND}\\{DM=DN}\\{∠MDE=∠NDF}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△FND，
∴DE=DF；

（4）如图2（a）中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
在△BDM与△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BMD=∠DNC=90°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CDN，
∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
在△DME与△DNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDM=∠FDN}\\{∠DME=∠DNF}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB；
如图3，同理BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，
∴∠EDM=∠NDF，
又∵∠EMD=∠FND=90°，
∴△EDM≌△FDN，
∴ME=NF，
∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=$\frac{1}{2}$AB，
综上所述，线段BE、CF、AB之间的数量关系为：BE+CF=$\frac{1}{2}$AB或BE-CF=$\frac{1}{2}$AB．