Question

4．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．且OB=OC=3OA，点B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，直线CD与x轴交于点E，直线l∥DE且交抛物线于M、N两点，若以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求直线l的解析式．
（3）如图2，若平行于x轴的直线与抛物线交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长．

Answer 1

分析 （1）由OB=OC=3OA，结合点B坐标可得出点A的坐标，再有a＞0可得出点C在y轴负半轴上，进而得出点C的坐标，根据点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）根据抛物线的解析式找出点D的坐标，利用待定系数法找出直线CD的解析式，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点E的坐标，根据直线ll∥DE，可设出直线l的解析式，将其代入抛物线解析式中根据根与系数的关系可找出点M、N横坐标之间的关系，再结合平行四边形的性质以及点D、E的坐标即可得出关于n的方程，解方程即可求出n值，进而得出直线l的解析式；
（3）令线段PQ的中点为E，⊙E与x轴的切点为点F，连接EF，设直线PQ的解析式为y=m，将其代入抛物线解析式中根据根与系数的关系可找出点P、Q横坐标之间的关系，再根据切线的性质即可得出关于m的方程，解方程求出m值，取m的绝对值即可得出结论．

解答 解：（1）∵OB=OC=3OA，点B（3，0），a＞0，
∴A（-1，0），抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴C（0，-3），
将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入y=ax²+bx+c中，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
设直线CD的解析式为y=kx-3，则有-4=k-3，
解得：k=-1，
∴直线CD的解析式为y=-x-3．
当y=0时，有0=-x-3，解得：x=-3，
∴E（-3，0）．
∵直线l∥DE，
∴设直线l的解析式为y=-x+n，
将y=-x+n代入y=x²-2x-3中，整理得：x²-x-（3+n）=0，
∴x_M+x_N=1，x_M•x_N=-（3+n），
∵以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，且DE∥MN，
∴|x_M-x_N|=$\sqrt{（{x}_{M}+{x}_{N}）^{2}-4{x}_{M}•{x}_{N}}$=$\sqrt{13+4n}$=1-（-3）=4，
解得：n=$\frac{3}{4}$，
∴直线l的解析式为y=-x+$\frac{3}{4}$．
（3）令线段PQ的中点为E，⊙E与x轴的切点为点F，连接EF，如图所示．
∵PQ∥x轴，抛物线的顶点D（1，-4），
∴设直线PQ的解析式为y=m，则E（1，m），F（1，0）．
将y=m代入y=x²-2x-3中，整理得：x²-2x-（3+m）=0，
∴x_P+x_Q=2，x_P•x_Q=-（3+m），
∵PQ=2EF，
∴|x_P-x_Q|=$\sqrt{（{x}_{P}+{x}_{Q}）^{2}-4{x}_{P}•{x}_{Q}}$=$\sqrt{16+4m}$=2|m|，
解得：m=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$．
∴该圆半径的长为$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）找出关于n的方程；（3）找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．