Question

9．如图，正方形ABCD中，AB=4，E是边AD上一点，将△EDC沿EC翻折，点D的对应点D′落在正方形内部，若△AD′E恰是以D′E为腰的等腰三角形，那么DE的长为4$\sqrt{2}$-4或2．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：AD'=ED'和D'E=AE，分别根据折叠的性质以及勾股定理进行计算，即可求得DE的长．

解答 解：①如图，当A、D'、C三点共线时，∠EAD'=45°，
由折叠可得∠D=∠CD'E=∠AD'E=90°，DE=D'E，
∴∠AED'=45°，
∴∠EAD'=∠AED'，
∴AD'=ED'，即△AD'E是以D′E为腰的等腰三角形，
又∵Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，而CD'=CD=4，
∴AD'=4$\sqrt{2}$-4，
∴DE=D'E=AD'=4$\sqrt{2}$-4；
②如图，当D'E=AE时，△AD'E是以D′E为腰的等腰三角形，
由折叠得，DE=D'E，
∴AE=DE，
又∵AE+DE=AD=4，
∴DE=2．
故答案为：4$\sqrt{2}$-4或2

点评 本题以折叠问题的背景，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及折叠的性质的综合应用，进行分类讨论是解题的关键．