Question

3．二次函数y=x²+mx+n的图象的顶点在直线y=-4上，该图象与直线y=x+2，y=-$\frac{1}{2}$x+1在0≤x≤2内各有一个交点，则m的取值范围是-8≤m≤-2$\sqrt{6}$或-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据二次函数y=x²+mx+n的图象的顶点在直线y=-4上，确定n=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$，代入解析式中，分两种情况：
①当抛物线L₁的左半部分与两直线在0≤x≤2内各有一个交点时，满足：x=0时，y=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$≥2，x=2时，y≤0，列不等式组求出解集；
②当抛物线L₂的右半部分与两直线在0≤x≤2内各有一个交点，则满足：当x=2时，y≥4，当x=0时，y≤1，
列不等式组求出解集即可．

解答 解：∵二次函数y=x²+mx+n的图象的顶点在直线y=-4上，
∴$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4，
∴n=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$，
∴y=x²+mx+$\frac{{m}^{2}-16}{4}$，
如图所示：分两种情况：
①当抛物线L₁的左半部分与两直线在0≤x≤2内各有一个交点，
则满足x=0时，y=$\frac{{m}^{2}-16}{4}$≥2，
x=2时，y≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}-16}{4}≥2}\\{4+2m+\frac{{m}^{2}-16}{4}≤0}\end{array}\right.$，
解得：-8≤m≤-2$\sqrt{6}$；
②当抛物线L₂的右半部分与两直线在0≤x≤2内各有一个交点，
则满足：当x=2时，y≥4，
当x=0时，y≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2m+\frac{{m}^{2}-16}{4}≥4}\\{\frac{{m}^{2}-16}{4}≤1}\end{array}\right.$，
解得：-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$；
综上所述，则m的取值范围是：-8≤m≤-2$\sqrt{6}$或-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$；
故答案为：-8≤m≤-2$\sqrt{6}$或-4+4$\sqrt{2}$≤m$≤2\sqrt{5}$．

点评 本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象的性质，有难度，根据已知条件，利用数形结合的思想解决此题，并与不等式组相结合，利用不等式组的解集确定m的取值范围．