Question

18．$\sqrt{a（a+2）^{2}（a+4）+4}$+b²+2$\sqrt{3}$b+3=0，求a+b-$\frac{2}{a}$．

Answer 1

分析 先将原式配方后，根据非负性得：$\left\{\begin{array}{l}{a（a+2）^{2}（a+4）+4=0①}\\{b+\sqrt{3}=0②}\end{array}\right.$，解出a、b的值，求代数式的值即可．

解答 解：$\sqrt{a（a+2）^{2}（a+4）+4}$+b²+2$\sqrt{3}$b+3=0，
$\sqrt{a（a+2）^{2}（a+4）+4}$+b²+2$\sqrt{3}$b+$（\sqrt{3}）^{2}$=0，
$\sqrt{a（a+2）^{2}（a+4）+4}$+（b+$\sqrt{3}$）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（a+2）^{2}（a+4）+4=0①}\\{b+\sqrt{3}=0②}\end{array}\right.$，
由①得：（a²+4a）（a²+4a+4）+4=0，
（a²+4a）²+4（a²+4a）+4=0，
（a²+4a+2）²=0，
a²+4a+2=0，
（a+2）²=2，
a₁=-2+$\sqrt{2}$，a₂=-2-$\sqrt{2}$，
由②得：b=-$\sqrt{3}$，
当a₁=-2+$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{3}$时，a+b-$\frac{2}{a}$=-2+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$-$\frac{2}{-2+\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$；
当a₂=-2-$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{3}$时，a+b-$\frac{2}{a}$=-2-$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$-$\frac{2}{-2-\sqrt{2}}$=-2$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了配方法的应用，非负数的性质、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是配方的关键，利用算术平方根和平方的非负性列方程组解决问题．