Question

15．如图，已知△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）当点P运动t秒时CP的长度为（6-2t）cm（用含t的代数式表示）；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）先表示出BP，根据PC=BC-BP，可得出答案；
（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

解答 解：（1）BP=2t，则PC=BC-BP=6-2t；
故答案为（6-2t）cm．

（2）当t=1时，BP=CQ=2×1=2厘米，
∵AB=8厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4厘米．
又∵PC=BC-BP，BC=6厘米，
∴PC=6-2=4厘米，
∴PC=BD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=PC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

③∵v_P≠v_Q，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，
∴点P，点Q运动的时间t=$\frac{PB}{2}$=$\frac{3}{2}$秒，
∴V_Q=$\frac{CQ}{t}$=$\frac{4}{\frac{3}{2}}$=$\frac{8}{3}$厘米/秒．

点评 此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程=速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．