Question

8．如图，过矩形ABCD顶点A，B的⊙O与CD相切于点E，与AD，BC分别相交于点G，H，连接EH，AH．
（1）求证：EH平分∠AHC；
（2）若AB=6，BH=8，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接EO，延长EO交AB于N，首先证明EN∥BC，推出∠OEH=∠EHC，由OE=OH，推出∠OEH=∠OHE，即可证明．
（2）由四边形ENBC是矩形，利用勾股定理先求出EN，BC，CH，CE即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接EO，延长EO交AB于N，
∵CD是切线．
∴CD⊥OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，
∴EN⊥AB，
∵BC⊥AB，
∴EN∥CB，
∴∠OEH=∠EHC，
∵OE=OH，
∴∠OEH=∠OHE，
∴∠OHE=∠EHC，
∴EH平分∠AHC．

（2）∵四边形ENBC是矩形，
∴AN=BN=EC=3，
在Rt△ABH中，∵AB=6，BH=8，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OE=5，ON=$\frac{1}{2}$BH=4，
∴BC=EN=OE+ON=9，
∴CH=BC-BH=1，
∴EH=$\sqrt{E{C}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查切线的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．