Question

如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，函数y=ax²+bx+4过A，B，C三点且AB=6．
（1）求⊙P的半径R的长；
（2）若点E在y轴上，且△ACE是等腰三角形，试写出所有点E的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）在函数y=ax²+bx+4中令x=0，解得y=4，则OC=PD=4，连接PA，在直角三角形△PAD中，根据勾股定理就可以得到PA的长．即圆的半径；
（2）根据等腰三角形的性质，把AC分别看作底和腰进行讨论．

解答：解：（1）如图，连接AP，

∵四边形ODPC为矩形，
∴PD⊥AB，
∴AD=BD=

1

2

AB=3，
又∵抛物线y=ax²+bx+4经过A，B，C三点，
∴C（0，4），
即OC=4，
∴PD=OC=4，
∴由勾股定理得AP=5，
∴⊙P的半径R的长为5；
（2）由（1）得OA=PC-AD=5-3=2，OC=4，则AC=

OA2+OC2

=2

5

，
设E点坐标为（0，y），当△ACE是等腰三角形时，有三种情况，
①当AC=CE时，则有|y-4|=2

5

，解得y=4+2

5

和y=4-2

5

，此时E点坐标为E₁（0，4+2

5

），E₂（0，4-2

5

）；
②当AC=AE时，因为O为AE中点，所以OE=OC=4，此时E点坐标为E₃（0，-4）；
③当CE=AE时，则CE=|y-4|，OE=|y|，OA=2，在Rt△OAE中由勾股定理可得：|y-4|²=|y|²+2²，解得y=

3

2

，此时E点坐标为（0，

3

2

）；
综上可知E点的坐标为E₁（0，4+2

5

），E₂（0，4-2

5

），E₃（0，-4）（0，

3

2

）．

点评：本题主要考查垂径定理及矩形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，熟练掌握垂径定理即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧是解题的关键．