Question

已知P为△ABC的内心，若∠ABC=34°，且BC=AP+AC，则∠CAB=

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：延长CA到D，使AD=AP，连结PD，首先证明△DCP≌BCP，则∠D=∠PBC，△APD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可求解．

解答：解：延长CA到D，使AD=AP，连结PD．
∵P为内心，
∴∠ACP=∠BCP，∠CBP=∠ABP，∠CAP=∠BAP，
∵BC=AP+AC
∴BC=AC+AD=DC．
则在△DCP和△BCP中，

BC=DC ∠ACP=∠BCP PC=PC

，
∴△DCP≌BCP（SAS），
∴∠D=∠PBC，
∵AP=AD，
∴∠D=∠APD，
∴∠CAB=2∠CAP=4∠D=4∠CBP=4×

1

2

∠CBA=68°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．